Elektronický vzdelávací materiál

Kružnica trojuhlníku vpísaná

Osi uhlov každého trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom kružnice vpísanej trojuholníku.

Dôkaz. Pri dôkaze využijeme vlastnosti osi uhla. Os uhla definu-jeme ako polpriamku so začiatkom vo vrchole uhla, ktorá delí uhol na dva zhodné uhly.

Os uhla môžeme tiež definovať ako množinu všetkých bodov uhla, ktoré majú od ramien uhla rovnakú vzdialenosť.

Ukážeme, že priesečníkom Iosí uhlov α, β prechádza aj os uhla γ.

Bod I má od všetkých strán trojuholníka rovnakú vzdialenosť, preto je stredom kružnice vpísanej trojuholníku.

Pre polomer ρ kružnice vpísanej trojuholníku platí: